Szeregowe i równoległe połączenie rezystancji

Połączenie szeregowe rezystancji

Weź trzy stałe rezystancje R1, R2 i R3 i podłącz je do obwodu tak, aby koniec pierwszego oporu R1 był połączony z początkiem drugiego oporu R2, koniec drugiego z początkiem trzeciego R3 i do początku pierwszego oporu i do końca trzeciego usuwamy przewody ze źródła prądu (ryc. 1).

To połączenie rezystancji nazywa się serią. Oczywiście prąd w takim obwodzie będzie taki sam we wszystkich jego punktach.

Ryż 1… Połączenie szeregowe rezystancji

Jak określić całkowitą rezystancję obwodu, jeśli znamy już wszystkie rezystancje połączone z nim szeregowo? Korzystając z pozycji, że napięcie U na zaciskach źródła prądu jest równe sumie spadków napięć na odcinkach obwodu, możemy napisać:

U = U1 + U2 + U3

Gdzie

U1 = IR1 U2 = IR2 i U3 = IR3

Lub

IR = IR1 + IR2 + IR3

Wykonując prawą stronę równości I w nawiasach, otrzymujemy IR = I (R1 + R2 + R3).

Teraz dzielimy obie strony równości przez I, ostatecznie będziemy mieć R = R1 + R2 + R3

Doszliśmy więc do wniosku, że gdy rezystancje są połączone szeregowo, to całkowita rezystancja całego obwodu jest równa sumie rezystancji poszczególnych sekcji.

Zweryfikujmy ten wniosek na następującym przykładzie. Weź trzy stałe rezystancje, których wartości są znane (np. R1 == 10 omów, R2 = 20 omów i R3 = 50 omów). Połączmy je szeregowo (ryc. 2) i podłączmy do źródła prądu, którego EMF wynosi 60 V (rezystancja wewnętrzna źródła prądu zaniedbany).

Ryż. 2. Przykład połączenia szeregowego trzech rezystancji

Obliczmy, jakie odczyty powinny dawać podłączone urządzenia tak, jak pokazano na schemacie, jeśli zamkniemy obwód. Określ rezystancję zewnętrzną obwodu: R = 10 + 20 + 50 = 80 omów.

Znajdź prąd w obwodzie Prawo Ohma: 60 / 80 = 0,75 A.

Znając natężenie prądu w obwodzie i rezystancję jego sekcji, wyznaczamy spadek napięcia w każdej sekcji obwodu U1 = 0,75x10 = 7,5 V, U2 = 0,75x20 = 15 V, U3 = 0,75x50 = 37,5V .

Znając spadek napięcia w sekcjach, określamy całkowity spadek napięcia w obwodzie zewnętrznym, to znaczy napięcie na zaciskach źródła prądu U = 7,5 + 15 + 37,5 = 60 V.

Otrzymujemy w taki sposób, że U = 60 V, czyli nieistniejąca równość pola elektromagnetycznego źródła prądu i jego napięcia. Wyjaśnia to fakt, że zaniedbaliśmy rezystancję wewnętrzną źródła prądu.

Po zamknięciu klawisza K możemy przekonać się z narzędzi, że nasze obliczenia są w przybliżeniu poprawne.

Równoległe połączenie rezystorów

Weźmy dwa stałe oporniki R1 i R2 i połączmy je tak, aby początek tych oporów był zawarty w jednym wspólnym punkcie a, a końce w innym wspólnym punkcie b. Łącząc wtedy punkty a i b ze źródłem prądu, otrzymujemy zamknięty obwód elektryczny. To połączenie rezystancji nazywa się połączeniem równoległym.

Rysunek 3. Równoległe połączenie rezystancji

Prześledźmy przepływ prądu w tym obwodzie. Od dodatniego bieguna źródła prądu przez przewód łączący prąd dotrze do punktu a. W punkcie a rozgałęzia się, ponieważ tutaj sam obwód rozgałęzia się na dwie oddzielne gałęzie: pierwszą o oporze R1 i drugą o oporze R2. Oznaczmy prądy w tych gałęziach odpowiednio przez I1 i Az2. Każdy z tych prądów poprowadzi własną gałąź do punktu b. W tym momencie prądy połączą się w jeden prąd, który dotrze do ujemnego bieguna źródła prądu.

Tak więc, gdy rezystancje są połączone równolegle, uzyskuje się obwód rozgałęziony. Zobaczmy, jaki będzie stosunek prądów w naszym obwodzie.

Podłącz amperomierz między dodatni biegun źródła prądu (+) a punkt a i zanotuj jego odczyt. Następnie, łącząc amperomierz (pokazany na rysunku linią przerywaną) w przewodzie łączącym punkt b z biegunem ujemnym źródła prądu (-), zauważamy, że urządzenie pokaże tę samą wielkość natężenia prądu.

To znaczy prąd obwodu przed jego rozgałęzieniem (do punktu a) jest równe natężeniu prądu po rozgałęzieniu obwodu (po punkcie b).

Teraz po kolei włączymy amperomierz w każdej gałęzi obwodu, zapamiętując odczyty urządzenia. Niech amperomierz pokaże prąd w pierwszej gałęzi I1, aw drugiej - Az2.Dodając te dwa odczyty amperomierza, otrzymujemy całkowity prąd równy co do wielkości prądowi Iz przed rozgałęzieniem (do punktu a).

Dlatego siła prądu płynącego do punktu rozgałęzienia jest równa sumie natężeń prądów płynących z tego punktu. I = I1 + I2 Wyrażając to za pomocą wzoru, otrzymujemy

Stosunek ten, który ma ogromne znaczenie praktyczne, nazywany jest prawem rozgałęzionych łańcuchów.

Zastanówmy się teraz, jaki będzie stosunek prądów w gałęziach.

Podłączmy woltomierz między punktami a i b i zobaczmy, co pokazuje. Najpierw woltomierz pokaże napięcie podłączonego źródła prądu, jak widać na ryc. 3bezpośrednio do zacisków źródła zasilania. Po drugie, woltomierz pokaże spadek napięcia. U1 i U2 na rezystorach R1 i R2, ponieważ są podłączone do początku i końca każdej rezystancji.

Dlatego, gdy rezystancje są połączone równolegle, napięcie na zaciskach źródła prądu jest równe spadkowi napięcia na każdej rezystancji.

To pozwala nam napisać, że U = U1 = U2,

gdzie U jest napięciem na zaciskach źródła prądu; U1 — spadek napięcia rezystancji R1, U2 — spadek napięcia rezystancji R2. Przypomnijmy, że spadek napięcia na odcinku obwodu jest liczbowo równy iloczynowi prądu przepływającego przez ten odcinek przez rezystancję przekroju U = IR.

Dlatego dla każdej gałęzi można napisać: U1 = I1R1 i U2 = I2R2, ale skoro U1 = U2, to I1R1 = I2R2.

Stosując zasadę proporcji do tego wyrażenia, otrzymujemy I1 / I2 = U2 / U1, czyli prąd w pierwszej gałęzi będzie tyle razy większy (lub mniejszy) niż prąd w drugiej gałęzi, ile razy opór pierwszej gałęzi jest mniejszy (lub większy) niż rezystancja drugiej gałęzi.

Doszliśmy więc do ważnego wniosku, że przy równoległym połączeniu rezystancji całkowity prąd obwodu rozgałęzia się na prądy odwrotnie proporcjonalne do wartości rezystancji równoległych gałęzi. Innymi słowy, im wyższy opór gałęzi, tym mniejszy prąd przez nią przepłynie i odwrotnie, im niższy opór gałęzi, tym większy prąd przepłynie przez tę gałąź.

Sprawdźmy poprawność tej zależności na poniższym przykładzie. Złóżmy razem obwód składający się z dwóch równolegle połączonych rezystancji R1 i R2 podłączonych do źródła zasilania. Niech R1 = 10 omów, R2 = 20 omów i U = 3 V.

Najpierw obliczmy, co pokaże nam amperomierz podłączony do każdej gałęzi:

I1 = U / R1 = 3/10 = 0,3 A = 300 mA

Az2 = U / R2 = 3/20 = 0,15 A = 150 mA

Całkowity prąd w obwodzie I = I1 + I2 = 300 + 150 = 450 mA

Nasze obliczenia potwierdzają, że gdy rezystancje są połączone równolegle, prąd w obwodzie rozgałęzia się odwrotnie proporcjonalnie do rezystancji.

Naprawdę, R1 == 10 omów jest o połowę mniejsze od R2 = 20 omów, podczas gdy I1 = 300mA dwa razy I2 = 150mA. Całkowity prąd w obwodzie I = 450 mA podzielony na dwie części, tak aby większa jego część (I1 = 300 mA) przepłynęła przez dolny opór (R1 = 10 omów), a mniejsza (R2 = 150 mA) przez większy opór (R2 = 20 omów).

To rozgałęzienie prądu na równoległe gałęzie jest podobne do przepływu cieczy przez rury.Wyobraźmy sobie rurę A, która w pewnym momencie rozgałęzia się na dwie rury B i C o różnych średnicach (rys. 4). Ponieważ średnica rury B jest większa niż średnica rur C, przez rurę B przepłynie jednocześnie więcej wody niż przez rurę C, która stawia większy opór przepływowi wody.

Ryż. 4… Mniej wody przepłynie przez cienką rurkę w takim samym czasie, jak przez grubszą.

Zastanówmy się teraz, jaki będzie całkowity opór zewnętrznego obwodu składającego się z dwóch oporów połączonych równolegle.

Przez całkowitą rezystancję obwodu zewnętrznego należy rozumieć taką rezystancję, która mogłaby zastąpić obie połączone równolegle rezystancje przy danym napięciu obwodu bez zmiany prądu przed rozgałęzieniem. Opór ten nazywa się oporem równoważnym.

Wróćmy do obwodu pokazanego na rys. 3 i zobacz, jaka będzie rezystancja zastępcza dwóch oporników połączonych równolegle. Stosując prawo Ohma do tego obwodu, możemy zapisać: I = U / R, gdzie I to prąd w obwodzie zewnętrznym (do punktu rozgałęzienia), U to napięcie obwodu zewnętrznego, R to rezystancja obwodu zewnętrznego obwód, czyli równoważny opór.

Podobnie dla każdej gałęzi I1 = U1 / R1, I2 = U2 / R2, gdzie I1 i I2 — prądy w gałęziach; U1 i U2 to napięcie w gałęziach; R1 i R2 — rezystancja gałęzi.

Zgodnie z prawem obwodu odgałęzionego: I = I1 + I2

Zastępując wartości prądów, otrzymujemy U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Ponieważ przy połączeniu równoległym U = U1 = U2, możemy napisać U / R = U / R1 + U / R2

Wykonując U po prawej stronie równania poza nawiasami, otrzymujemy U / R = U (1 / R1 + 1 / R2)

Teraz dzieląc obie strony równości przez U, ostatecznie mamy 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2

Pamiętając, że przewodność jest odwrotnością wartości rezystancji, możemy powiedzieć, że w otrzymanym wzorze 1 / R — przewodność obwodu zewnętrznego; 1 / R1 przewodność pierwszej gałęzi; 1 / R2- przewodność drugiej gałęzi.

Na podstawie tego wzoru wnioskujemy, że gdy są połączone równolegle, przewodnictwo obwodu zewnętrznego jest równe sumie przewodnictwa poszczególnych gałęzi.

Dlatego, aby określić równoważną rezystancję rezystancji połączonych równolegle, konieczne jest określenie przewodności obwodu i przyjęcie wartości przeciwnej do niej.

Ze wzoru wynika również, że przewodnictwo obwodu jest większe niż przewodnictwo każdej gałęzi, co oznacza, że ​​rezystancja zastępcza obwodu zewnętrznego jest mniejsza niż najmniejsza z rezystancji połączonych równolegle.

Rozpatrując przypadek równoległego połączenia rezystancji przyjęliśmy najprostszy obwód składający się z dwóch gałęzi. W praktyce jednak mogą wystąpić przypadki, w których obwód składa się z trzech lub więcej równoległych gałęzi. Co powinniśmy zrobić w takich przypadkach?

Okazuje się, że wszystkie otrzymane połączenia zachowują ważność dla obwodu składającego się z dowolnej liczby rezystancji połączonych równolegle.

Aby to zweryfikować, rozważ następujący przykład.

Weźmy trzy rezystancje R1 = 10 omów, R2 = 20 omów i R3 = 60 omów i połączmy je równolegle. Wyznacz równoważną rezystancję obwodu (ryc. 5).

Ryż. 5. Obwód z trzema równolegle połączonymi rezystancjami

Stosując ten wzór obwodu 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2, możemy napisać 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 i podstawiając znane wartości, otrzymujemy 1 / R = 1 / 10 + 1/20 + 1/60

Dodajemy te ułamki: 1 /R = 10/60 = 1/6, czyli przewodnictwo obwodu wynosi 1 / R = 1/6 Dlatego rezystancja równoważna R = 6 omów.

Dlatego rezystancja równoważna jest mniejsza niż najmniejsza z rezystancji połączonych równolegle w obwodzie, mniejsza rezystancja R1.

Zobaczmy teraz, czy ta rezystancja jest rzeczywiście równoważna, to znaczy taka, że ​​może zastąpić rezystancje 10, 20 i 60 omów połączone równolegle bez zmiany natężenia prądu przed rozgałęzieniem obwodu.

Załóżmy, że napięcie obwodu zewnętrznego, a co za tym idzie napięcie na rezystancjach R1, R2, R3 jest równe 12 V. Wtedy natężenie prądów w gałęziach będzie wynosiło: I1 = U / R1 = 12/10 = 1,2 A. Az2 = U / R2 = 12 / 20 = 1,6 A. Az3 = U / R1 = 12 / 60 = 0,2 A

Otrzymujemy całkowity prąd w obwodzie za pomocą wzoru I = I1 + I2 + I3 =1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 A.

Sprawdźmy, korzystając ze wzoru na prawo Ohma, czy w obwodzie uzyskamy prąd o natężeniu 2 A, jeśli zamiast trzech znanych równoległych rezystancji uwzględnimy jeden równoważny opór 6 omów.

ja = U/R= 12 / 6 = 2 A

Jak widać, rezystancja R = 6 omów, którą znaleźliśmy, jest rzeczywiście równoważna dla tego obwodu.

Można to sprawdzić na miernikach, jeśli złożysz obwód z rezystancjami, które zmierzyliśmy, zmierzysz prąd w obwodzie zewnętrznym (przed rozgałęzieniem), a następnie zastąpisz połączone równolegle rezystancje pojedynczym oporem 6 Ohm i ponownie zmierzysz prąd.Odczyty amperomierza w obu przypadkach będą w przybliżeniu takie same.

W praktyce mogą również wystąpić połączenia równoległe, dla których łatwiej jest obliczyć rezystancję zastępczą, to znaczy bez uprzedniego określenia przewodnictwa rezystancję można znaleźć natychmiast.

Na przykład, jeśli dwa rezystancje są połączone równolegle R1 i R2, to wzór 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 można przekształcić w następujący sposób: 1 / R = (R2 + R1) / R1 R2 i rozwiązując równość względem R, otrzymujemy R = R1 NS R2 / (R1 + R2), tj. gdy dwa oporniki są połączone równolegle, równoważny opór obwodu jest równy iloczynowi oporów połączonych równolegle podzielonych przez ich sumę.