Prawa Algebry Obwodów Kontaktowych, Algebra Boole'a

Analityczny zapis budowy i warunków pracy obwodów przekaźnikowych umożliwia przeprowadzanie analitycznych przekształceń równoważnych obwodów, czyli poprzez przekształcanie wzorów strukturalnych, znajdowanie schematów podobnych w działaniu. Metody konwersji są szczególnie w pełni rozwinięte dla wzorów strukturalnych wyrażających obwody kontaktowe.

W przypadku obwodów kontaktowych stosuje się aparat matematyczny algebry logicznej, a dokładniej jedną z jej najprostszych odmian, zwaną rachunkiem zdań lub algebrą Boole'a (od nazwiska matematyka ubiegłego wieku J. Boole'a).

Rachunek zdań został pierwotnie opracowany w celu badania zależności (prawdziwości lub fałszywości sądów złożonych od prawdziwości lub fałszywości zdań prostych, z których się one składają. Zasadniczo rachunek zdań jest algebrą dwóch liczb, to znaczy algebrą w gdzie każdy pojedynczy argument i każda funkcja może mieć jedną z dwóch wartości.

Przesądza to o możliwości wykorzystania algebry Boole'a do przekształcania obwodów stykowych, gdyż każdy z argumentów (kontaktów) zawartych we wzorze strukturalnym może przyjmować tylko dwie wartości, to znaczy może być domknięty lub otwarty, a cała funkcja reprezentowana przez wzór strukturalny formuła może wyrażać zamkniętą lub otwartą pętlę.

Algebra Boole'a wprowadza:

1) obiekty, które podobnie jak w algebrze zwykłej mają nazwy: zmienne niezależne i funkcje — jednak w przeciwieństwie do zwykłej algebry, w algebrze Boole'a oba mogą przyjmować tylko dwie wartości: 0 i 1;

2) podstawowe operacje logiczne:

• dodawanie logiczne (lub alternatywa, logiczne OR, oznaczane znakiem ?), które jest zdefiniowane w następujący sposób: wynikiem operacji jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty operacji są równe 0, w przeciwnym razie wynikiem jest 1;

• mnożenie logiczne (lub konkatenacja, logiczne AND, oznaczane przez ? lub w ogóle nie określone), które jest zdefiniowane w następujący sposób: wynikiem operacji jest 1 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty operacji są równe 1, w przeciwnym razie wynikiem wynosi 0;

• negacja (lub odwrotnie, logiczne NOT, oznaczone kreską nad argumentem), która jest zdefiniowana w następujący sposób: wynik operacji ma przeciwną wartość argumentu;

3) aksjomaty (prawa algebry Boole'a), które określają zasady przekształcania wyrażeń logicznych.

Zauważ, że każdą z operacji logicznych można wykonać zarówno na zmiennych, jak i na funkcjach, które poniżej będą nazywane funkcjami boolowskimi... Przypomnijmy, że analogicznie do zwykłej algebry, w algebrze Boole'a operacja mnożenia logicznego ma pierwszeństwo przed logiczną operacja dodawania.

Wyrażenia logiczne są tworzone przez łączenie operacji logicznych na wielu obiektach (zmiennych lub funkcjach), zwanych argumentami operacji.

Transformacja wyrażeń logicznych za pomocą praw algebry Boole'a jest zwykle przeprowadzana w celu minimalizacji, ponieważ im prostsze wyrażenie, tym mniejsza złożoność łańcucha logicznego, który jest techniczną realizacją wyrażenia logicznego.

Prawa algebry Boole'a są przedstawione jako zbiór aksjomatów i konsekwencji. Można to sprawdzić w prosty sposób, podstawiając różne wartości zmiennych.

Technicznym odpowiednikiem dowolnego wyrażenia logicznego dla funkcji Boole'a jest diagram logiczny... W tym przypadku zmienne, od których zależy funkcja Boole'a, są podłączone do zewnętrznych wejść tego obwodu, wartość funkcji Boole'a jest tworzona na zewnętrzne wyjście układu, a każda operacja logiczna w wyrażeniu logicznym jest realizowana przez element logiczny.

Zatem dla każdego zestawu sygnałów wejściowych na wyjściu układu logicznego generowany jest sygnał odpowiadający wartości funkcji boolowskiej tego zestawu zmiennych (dalej będziemy stosować konwencję: 0 — niski poziom sygnału , 1 — wysoki poziom sygnału).

Konstruując układy logiczne przyjmiemy, że zmienne podawane są na wejście w kodzie parafazowym (czyli dostępne są zarówno wartości bezpośrednie, jak i odwrotne zmiennych).

Tabela 1 pokazuje konwencjonalne oznaczenia graficzne niektórych elementów logicznych zgodnie z GOST 2.743-91, a także ich zagraniczne odpowiedniki.

Oprócz elementów realizujących trzy operacje algebry Boole'a (AND, OR, NOT), w tab. 1 pokazuje elementy, które wykonują operacje wyprowadzone z głównego:

— AND -NOT — negacja mnożenia logicznego, zwana też ruchem Schaefera (oznaczona |)

— OR -NOT — zaprzeczenie dopełnienia logicznego, zwane też strzałką Peirce'a (oznaczone ?)

Łącząc ze sobą szeregowo bramki logiczne, możesz zaimplementować dowolną funkcję boolowską.

Wzory strukturalne wyrażające ogólnie obwody przekaźnikowe, tj. zawierające symbole reagujących orłów, nie mogą być traktowane jako funkcje dwóch wartości wyrażających tylko obwód zamknięty lub otwarty. Dlatego podczas pracy z takimi funkcjami powstaje szereg nowych zależności, które wykraczają poza granice algebry Boole'a.

W algebrze Boole'a istnieją cztery pary podstawowych praw: dwa przesunięcia, dwa kombinatoryczne, dwa rozdzielcze i dwie inwersje prawne. Prawa te ustalają równoważność różnych wyrażeń, to znaczy uwzględniają wyrażenia, które mogą być wzajemnie zastępowane, podobnie jak zastępowanie tożsamości w zwykłej algebrze. Jako symbol równoważności przyjmujemy symbol, który jest taki sam jak symbol równości w zwykłej algebrze (=).

Ważność praw algebry Boole'a dla obwodów kontaktowych zostanie ustalona przez rozważenie obwodów odpowiadających lewej i prawej stronie równoważnych wyrażeń.

Przepisy dotyczące podróży

Aby dodać: x + y = y + x

Schematy odpowiadające tym wyrażeniom pokazano na ryc. 1, za.

Obwody lewy i prawy są zwykle obwodami otwartymi, z których każdy zamyka się, gdy jeden z elementów (X lub Y) zostanie wyzwolony, to znaczy obwody te są równoważne. Dla mnożenia: x·y = y·NS.

Schematy odpowiadające tym wyrażeniom pokazano na ryc. 1b, ich równoważność jest również oczywista.

Ryż. 1

Prawa Kombinacji

Dodawanie: (x + y) + z = x + (y + z)

Dla mnożenia: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Pary równoważnych obwodów odpowiadające tym wyrażeniom pokazano na ryc. 2, a, b

Ryż. 2

Prawa dystrybucji

Mnożenie a dodawanie: (x + y) +z = x + (y + z)

Dodawanie a mnożenie. x·y + z = (x + z) ·(y + z)

Schematy odpowiadające tym wyrażeniom pokazano na ryc. 3, a, b.

Ryż. 3.

Równoważność tych schematów można łatwo zweryfikować, rozważając różne kombinacje uruchamiania styków.

Prawa inwersji

Na dodatek: NS + c = NS·c

Słupek nad lewą stroną wyrażenia to znak negacji lub inwersji. Ten znak wskazuje, że cała funkcja ma przeciwne znaczenie w stosunku do wyrażenia pod znakiem negacji. Nie da się narysować diagramu odpowiadającego całej funkcji odwrotnej, ale można narysować diagram odpowiadający wyrażeniu pod znakiem ujemnym. Zatem wzór można zilustrować diagramami pokazanymi na ryc. 4, A.

Ryż. 4.

Lewy wykres odpowiada wyrażeniu x + y, a prawy NS ·c

Te dwa obwody działają przeciwnie do siebie, a mianowicie: jeśli lewy obwód z niewzbudzonymi elementami X, Y jest obwodem otwartym, to prawy obwód jest zamknięty. Jeśli w lewym obwodzie, gdy jeden z elementów zostanie wyzwolony, obwód zamyka się, aw prawym obwodzie, wręcz przeciwnie, otwiera się.

Ponieważ z definicji znaku ujemnego funkcja x + y jest odwrotnością funkcji x + y, to jest oczywiste, że x + y = NS·in.

Odnośnie mnożenia: NS · c = NS + c

Odpowiednie schematy pokazano na ryc. 4, b.

Prawa translokacyjne i kombinacyjne oraz rozdzielcze prawo mnożenia względem dodawania (odpowiadają podobnym prawom algebry zwykłej).Dlatego w przypadku przekształcania wzorów strukturalnych w kolejności dodawania i mnożenia wyrazów, umieszczania wyrazów poza nawiasami i rozwinięcia nawiasów można postępować zgodnie z zasadami ustalonymi dla pracy ze zwykłymi wyrażeniami algebraicznymi. Dystrybucyjne prawo dodawania w odniesieniu do mnożenia i prawa inwersji są specyficzne dla algebry Boole'a.