Dlaczego liczby zespolone są używane do obliczeń w obwodach prądu przemiennego

Jak wiesz, liczby zespolone są używane do rozwiązywania typowych problemów w elektrotechnice. Ale do czego służą i dlaczego robi się to w ten sposób? To właśnie postaramy się zrozumieć w trakcie tego artykułu. Faktem jest, że złożona metoda lub metoda złożonych amplitud jest wygodna do obliczania złożonych obwodów prądu przemiennego. Na początek przypomnijmy sobie podstawy matematyki:

Jak widać, liczba zespolona z obejmuje część urojoną i część rzeczywistą, które różnią się od siebie i są inaczej oznaczane w tekście. Sama liczba zespolona z może być zapisana w postaci algebraicznej, trygonometrycznej lub wykładniczej:

Tło historyczne

Uważa się, że idea liczb urojonych narodziła się w 1545 roku, kiedy to włoski matematyk, inżynier, filozof, lekarz i astrolog Girolamo Cardano opublikował tę metodę rozwiązywania równań w swoim traktacie „Wielka sztuka”, gdzie według m.in. , przyznał, że Niccolò podsunął mu ten pomysł Tartaglii (włoskiemu matematykowi) na 6 lat przed publikacją tej pracy. W swojej pracy Kradano rozwiązuje równania postaci:

W procesie rozwiązywania tych równań naukowiec był zmuszony przyznać, że istnieje jakaś „nierzeczywista” liczba, której kwadrat będzie równy minus jeden „-1”, to znaczy tak, jakby istniał pierwiastek kwadratowy z liczba ujemna, a jeśli jest teraz podniesiona do kwadratu, okaże się odpowiednią liczbą ujemną pod pierwiastkiem. Cardano sformułował zasadę mnożenia, zgodnie z którą:

Przez trzy stulecia społeczność matematyczna przyzwyczajała się do nowego podejścia zaproponowanego przez Cardano. Liczby urojone stopniowo zakorzeniają się, ale matematycy niechętnie to akceptują. Dopiero publikacja prac Gaussa o algebrze, w których udowodnił fundamentalne twierdzenie algebry, w pełni zaakceptowała liczby zespolone, zbliżał się XIX wiek.

Liczby urojone stały się prawdziwym ratunkiem dla matematyków, ponieważ najbardziej złożone problemy stały się znacznie łatwiejsze do rozwiązania dzięki zaakceptowaniu istnienia liczb urojonych.

Tak więc wkrótce doszło do elektrotechniki. Obwody prądu przemiennego były czasami bardzo złożone i aby je obliczyć, trzeba było obliczyć wiele całek, co często było bardzo niewygodne.

Wreszcie, w 1893 r. genialny inżynier elektryk Carl August Steinmetz przemawiał w Chicago na Międzynarodowym Kongresie Elektrotechnicznym z raportem „Liczby zespolone i ich zastosowanie w elektrotechnice”, który faktycznie zapoczątkował praktyczne zastosowanie przez inżynierów złożonej metody obliczanie obwodów elektrycznych dla prądu przemiennego.

Znamy to z lekcji fizyki prąd przemienny — jest to prąd, który zmienia się w czasie zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku.

W technice istnieją różne formy prądu przemiennego, ale najbardziej powszechnym dzisiaj jest przemienny prąd sinusoidalny, to jest to, co jest używane wszędzie, za pomocą którego przesyłana jest energia elektryczna, w postaci prądu przemiennego, który jest generowany, przetwarzany przez transformatorów i jest zużywana przez obciążenia. Prąd sinusoidalny zmienia się okresowo zgodnie z prawem sinusoidalnym (harmonicznym).

Efektywne wartości prądu i napięcia są mniejsze niż wartości amplitudy pierwiastka dwa razy:

W złożonej metodzie efektywne wartości prądów i napięć są zapisywane w następujący sposób:

Należy zauważyć, że w elektrotechnice jednostka urojona jest oznaczona literą „j”, ponieważ litera „i” jest już tutaj używana do oznaczenia prądu.

Z Prawo Ohma określa zespoloną wartość rezystancji:

Dodawanie i odejmowanie wartości zespolonych odbywa się w postaci algebraicznej, a mnożenie i dzielenie w postaci wykładniczej.

Rozważmy metodę złożonych amplitud na przykładzie określonego obwodu z pewnymi wartościami głównych parametrów.

Przykład rozwiązania problemu za pomocą liczb zespolonych

Dany:

• napięcie cewki 50 V,

• rezystancja rezystora 25 Ohm,

• indukcyjność cewki 500 mH,

• pojemność elektryczna kondensatora wynosi 30 mikrofaradów,

• rezystancja cewki 10 Ohm,

• częstotliwość sieciowa 50 Hz.

Znajdź: odczyty amperomierza i woltomierza oraz watomierza.

Odpowiedź:

Na początek zapisujemy złożoną rezystancję elementów połączonych szeregowo, która składa się z części rzeczywistej i urojonej, następnie znajdujemy złożoną rezystancję elementu czynno-indukcyjnego.

pamiętając! Aby uzyskać postać wykładniczą, znajdź moduł z równy pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej oraz phi równy arcus tangensowi ilorazu części urojonej podzielonej przez część rzeczywistą.

Następnie znajdujemy prąd i odpowiednio odczyty amperomierza:

Tak więc amperomierz pokazuje prąd 0,317 A — to jest prąd płynący przez cały obwód szeregowy.

Teraz znajdziemy rezystancję pojemnościową kondensatora, a następnie określimy jego złożoną rezystancję:

Następnie obliczamy całkowitą impedancję zespoloną tego obwodu:

Teraz znajdujemy efektywne napięcie przyłożone do obwodu:

Woltomierz wskaże skuteczne napięcie 19,5 wolta.

Wreszcie znajdujemy moc, którą wyświetli watomierz, biorąc pod uwagę różnicę faz między prądem a napięciem

Watomierz pokaże 3,51 wata.

Teraz rozumiesz, jak ważne są liczby zespolone w elektrotechnice. Służą do wygodnego obliczania obwodów elektrycznych. Wiele elektronicznych urządzeń pomiarowych działa na tej samej zasadzie.