Prawo Biota-Savarta i twierdzenie o obiegu wektora indukcji magnetycznej

W 1820 roku francuscy naukowcy Jean-Baptiste Biot i Félix Savard w trakcie wspólnych eksperymentów nad badaniem pól magnetycznych prądów stałych jednoznacznie ustalili, że indukcję magnetyczną prądu stałego płynącego przez przewodnik można uznać za wynik ogólne działanie wszystkich odcinków tego drutu z prądem. Oznacza to, że pole magnetyczne podlega zasadzie superpozycji (zasadzie superpozycji pól).

Pole magnetyczne wytwarzane przez grupę przewodów prądu stałego ma następujące właściwości Indukcja magnetycznaże jego wartość jest zdefiniowana jako suma wektorowa indukcji magnetycznych wytwarzanych przez każdy przewodnik z osobna. Oznacza to, że indukcyjność B przewodnika prądu stałego może być rzetelnie reprezentowana przez sumę wektorów elementarnych indukcji dB należących do elementarnych odcinków dl rozpatrywanego przewodu prądu stałego I.

Izolowanie elementarnej sekcji przewodnika prądu stałego jest praktycznie nierealne, ponieważ DC zawsze zamknięte.Ale możesz zmierzyć całkowitą indukcję magnetyczną wytwarzaną przez drut, to znaczy generowaną przez wszystkie elementarne części danego drutu.

Zatem prawo Biota-Sovara pozwala znaleźć wartość indukcji magnetycznej B odcinka (znanej długości dl) przewodnika, przy danym prądzie stałym I, w pewnej odległości r od tego odcinka przewodnika i w określony kierunek obserwacji z wybranego odcinka (wyznaczony przez sinus kąta między kierunkiem prądu a kierunkiem od odcinka przewodu do badanego punktu w przestrzeni przy przewodzie):

Eksperymentalnie ustalono, że kierunek wektora indukcji magnetycznej można łatwo określić za pomocą śruby prawoskrętnej lub zasady kardanowej: jeśli kierunek ruchu translacyjnego gimbala podczas jego obrotu pokrywa się z kierunkiem prądu stałego I w przewodzie, to kierunek obrotu uchwytu gimbala określa kierunek wektora indukcji magnetycznej B wytwarzanego przez dany prąd.

Pole magnetyczne prostoliniowego przewodu z prądem, a także ilustrację zastosowania do niego prawa Bio-Savarta pokazano na rysunku:

Jeśli więc scałkujemy, to znaczy dodamy udział każdej z małych sekcji przewodnika prądu stałego w całkowitym polu magnetycznym, otrzymamy wzór na znalezienie indukcji magnetycznej przewodnika prądu w pewnym promieniu R z tego .

W ten sam sposób, korzystając z prawa Bio-Savarda, można obliczyć indukcję magnetyczną z prądów stałych o różnych konfiguracjach i w pewnych punktach przestrzeni, na przykład indukcję magnetyczną w środku kołowego obwodu z prądem można znaleźć za pomocą następująca formuła:

Kierunek wektora indukcji magnetycznej można łatwo znaleźć zgodnie z regułą gimbala, tylko teraz gimbal musi być obrócony w kierunku prądu zamkniętego, a ruch gimbala do przodu pokaże kierunek wektora indukcji magnetycznej.

Często obliczenia w odniesieniu do pola magnetycznego można uprościć, jeśli weźmiemy pod uwagę symetrię konfiguracji prądów zadaną przez pole generujące. Tutaj możesz użyć twierdzenia o cyrkulacji wektora indukcji magnetycznej (podobnie jak twierdzenie Gaussa w elektrostatyce). Co to jest „cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej”?

Wybierzmy w przestrzeni pewną zamkniętą pętlę o dowolnym kształcie i warunkowo wskażmy dodatni kierunek jej ruchu.Dla każdego punktu tej pętli można znaleźć rzut wektora indukcji magnetycznej B na styczną do pętli w tym punkcie. Wtedy suma iloczynów tych wielkości przez elementarne długości wszystkich odcinków konturu jest cyrkulacją wektora indukcji magnetycznej B wzdłuż tego konturu:

Praktycznie wszystkie prądy, które tworzą tutaj ogólne pole magnetyczne, mogą albo przenikać przez rozważany obwód, albo niektóre z nich mogą znajdować się poza nim. Zgodnie z twierdzeniem o cyrkulacji: cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej B prądów stałych w zamkniętej pętli jest liczbowo równa iloczynowi stałej magnetycznej mu0 przez sumę wszystkich prądów stałych, które przechodzą przez pętlę. Twierdzenie to zostało sformułowane przez Andre Marie Ampere w 1826 roku:

Rozważ powyższy rysunek. Tutaj prądy I1 i I2 przenikają przez obwód, ale są skierowane w różnych kierunkach, co oznacza, że ​​\u200b\u200bmają warunkowo różne znaki.Znak dodatni będzie miał prąd, którego kierunek indukcji magnetycznej (zgodnie z podstawową zasadą) pokrywa się z kierunkiem obejścia wybranego obwodu. W tej sytuacji twierdzenie o cyrkulacji przyjmuje postać:

Ogólnie rzecz biorąc, twierdzenie o cyrkulacji wektora indukcji magnetycznej B wynika z zasady superpozycji pola magnetycznego i prawa Biota-Savarda.

Na przykład wyprowadzamy wzór na indukcję magnetyczną przewodnika prądu stałego. Wybierzmy kontur w postaci koła, przez którego środek przechodzi ten drut, a drut jest prostopadły do ​​płaszczyzny konturu.

Zatem środek koła leży bezpośrednio w środku przewodnika, to znaczy w przewodniku. Ponieważ obraz jest symetryczny, wektor B jest skierowany stycznie do okręgu, a zatem jego rzut na styczną jest wszędzie taki sam i równy długości wektora B. Twierdzenie o cyrkulacji jest zapisane w następujący sposób:

Dlatego następuje wzór na indukcję magnetyczną prostego przewodnika z prądem stałym (ten wzór został już podany powyżej). Podobnie, korzystając z twierdzenia o cyrkulacji, można łatwo znaleźć indukcje magnetyczne symetrycznych konfiguracji prądu stałego, gdzie obraz linii pola jest łatwy do wizualizacji.

Jednym z praktycznie ważnych przykładów zastosowania twierdzenia o cyrkulacji jest znalezienie pola magnetycznego wewnątrz cewki toroidalnej.

Załóżmy, że istnieje cewka toroidalna nawinięta dookoła na kartonowej ramie w kształcie pączka z liczbą zwojów N. W tej konfiguracji linie indukcji magnetycznej są zamknięte wewnątrz pączka i mają koncentryczny (wewnątrz siebie) kształt okręgów .

Jeśli spojrzysz w kierunku wektora indukcji magnetycznej wzdłuż wewnętrznej osi pączka, okaże się, że prąd jest skierowany wszędzie zgodnie z ruchem wskazówek zegara (zgodnie z regułą gimbala). Rozważmy jedną z linii (pokazanych na czerwono) indukcji magnetycznej wewnątrz cewki i wybierzmy ją jako kołową pętlę o promieniu r. Wtedy twierdzenie o obiegu dla danego obwodu jest zapisane w następujący sposób:

A indukcja magnetyczna pola wewnątrz cewki będzie równa:

Dla cienkiej cewki toroidalnej, w której pole magnetyczne jest prawie jednorodne na całym jej przekroju, można zapisać wyrażenie na indukcję magnetyczną jak dla nieskończenie długiego solenoidu, biorąc pod uwagę liczbę zwojów na jednostkę długości — N :

Rozważmy teraz nieskończenie długi solenoid, w którym pole magnetyczne jest całkowicie wewnątrz. Stosujemy twierdzenie o cyrkulacji do wybranego prostokątnego konturu.

Tutaj wektor indukcji magnetycznej da rzut niezerowy tylko na bok 2 (jego długość jest równa L). Korzystając z parametru n — „liczba zwojów na jednostkę długości”, otrzymujemy taką postać twierdzenia o cyrkulacji, która ostatecznie sprowadza się do tej samej postaci, co dla wielotonowej cewki toroidalnej: