Równania Maxwella dla pola elektromagnetycznego — podstawowe prawa elektrodynamiki
Układ równań Maxwella swoją nazwę i wygląd zawdzięcza Jamesowi Clerkowi Maxwellowi, który sformułował i napisał te równania pod koniec XIX wieku.
Maxwella Jamesa Clarka (1831-1879) jest znanym brytyjskim fizykiem i matematykiem, profesorem Uniwersytetu Cambridge w Anglii.
Praktycznie połączył w swoich równaniach wszystkie uzyskane wówczas wyniki eksperymentalne dotyczące elektryczności i magnetyzmu i nadał prawom elektromagnetyzmu wyraźną formę matematyczną. Podstawowe prawa elektrodynamiki (równania Maxwella) zostały sformułowane w 1873 roku.
Maxwell rozwinął doktrynę pola elektromagnetycznego Faradaya w spójną teorię matematyczną, z której wynika możliwość rozchodzenia się fal w procesach elektromagnetycznych. Okazało się, że prędkość propagacji procesów elektromagnetycznych jest równa prędkości światła (której wartość była już znana z eksperymentów).
Ta zbieżność posłużyła Maxwellowi za podstawę do wyrażenia idei wspólnej natury zjawisk elektromagnetycznych i świetlnych, tj. o elektromagnetycznej naturze światła.
Teoria zjawisk elektromagnetycznych, stworzona przez Jamesa Maxwella, znalazła swoje pierwsze potwierdzenie w eksperymentach Hertza, który jako pierwszy uzyskał fale elektromagnetyczne.
W rezultacie równania te odegrały ważną rolę w tworzeniu dokładnych reprezentacji elektrodynamiki klasycznej. Równania Maxwella można zapisać w postaci różniczkowej lub całkowej. W praktyce suchym językiem matematyki opisują pole elektromagnetyczne i jego związek z ładunkami elektrycznymi i prądami w próżni i ośrodkach ciągłych. Do tych równań możesz dodać wyrażenie na siłę Lorentza, w takim przypadku otrzymujemy kompletny układ równań elektrodynamiki klasycznej.
Aby zrozumieć niektóre symbole matematyczne używane w postaciach różniczkowych równań Maxwella, zdefiniujmy najpierw tak interesującą rzecz, jak operator nabla.
Operator Nabla (lub operator Hamiltona) Jest wektorowym operatorem różniczkowym, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi względem współrzędnych. Dla naszej rzeczywistej przestrzeni, która jest trójwymiarowa, odpowiedni jest prostokątny układ współrzędnych, dla którego operator nabla jest zdefiniowany następująco:
gdzie i, j i k są jednostkowymi wektorami współrzędnych
Operator nabla zastosowany do pola w jakiś matematyczny sposób daje trzy możliwe kombinacje. Te kombinacje nazywają się:
Gradient — wektor, którego kierunek wskazuje kierunek największego wzrostu pewnej wielkości, której wartość zmienia się w różnych punktach przestrzeni (pole skalarne), a co do wielkości (modułu) jest równa szybkości wzrostu tej ilość w tym kierunku.
Rozbieżność (rozbieżność) — operator różniczkowy odwzorowujący pole wektorowe na skalar (czyli w wyniku zastosowania operacji różniczkowej na polu wektorowym otrzymuje się pole skalarne), który określa (dla każdego punktu) „ile wchodzi pole i pozostawia małe sąsiedztwo danego punktu rozbieżne”, a dokładniej jak różne są dopływy i odpływy.
Wirnik (wir, obrót) jest wektorowym operatorem różniczkowym nad polem wektorowym.
Teraz myśl trzeźwo Równania Maxwella w postaci całkowej (po lewej) i różniczkowej (po prawej).zawierający podstawowe prawa pól elektrycznych i magnetycznych, w tym indukcję elektromagnetyczną.
Postać całkowa: krążenie wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż dowolnej zamkniętej pętli jest wprost proporcjonalne do szybkości zmiany strumienia magnetycznego przez obszar ograniczony tą pętlą.
Postać różniczkowa: każda zmiana pola magnetycznego wytwarza wirowe pole elektryczne proporcjonalne do szybkości zmian indukcji pola magnetycznego.
Znaczenie fizyczne: każda zmiana pola magnetycznego w czasie powoduje pojawienie się wirowego pola elektrycznego.
Postać całkowa: strumień indukcji pola magnetycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię wynosi zero. Oznacza to, że w przyrodzie nie ma ładunków magnetycznych.
Postać różniczkowa: strumień linii indukcji pola magnetycznego o nieskończonej elementarnej objętości jest równy zeru, ponieważ pole jest wirowe.
Znaczenie fizyczne: w przyrodzie nie ma źródeł pola magnetycznego w postaci ładunków magnetycznych.
Postać całkowa: krążenie wektora natężenia pola magnetycznego wzdłuż dowolnej zamkniętej pętli jest wprost proporcjonalne do całkowitego prądu przepływającego przez powierzchnię pokrytą przez tę pętlę.
Forma różniczkowa: wirowe pole magnetyczne istnieje wokół dowolnego przewodnika z prądem i wokół dowolnego zmiennego pola elektrycznego.
Znaczenie fizyczne: przepływ prądu przewodzącego przez przewody i zmiany pola elektrycznego w czasie prowadzą do powstania wirowego pola magnetycznego.
Postać całkowa: strumień wektora indukcji elektrostatycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnię, która otacza ładunki, jest wprost proporcjonalny do całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni.
Postać różniczkowa: strumień wektora indukcji pola elektrostatycznego z nieskończonej elementarnej objętości jest wprost proporcjonalny do całkowitego ładunku w tej objętości.
Znaczenie fizyczne: źródłem pola elektrycznego jest ładunek elektryczny.
Układ tych równań można uzupełnić układem tzw. równań materiałowych, charakteryzujących właściwości ośrodka materialnego wypełniającego przestrzeń:
