Przepływ i cyrkulacja pola wektorowego

NNa podstawie materiałów wykładowych Richarda Feynmana

Opisując prawa elektryczności w kategoriach pól wektorowych, mamy do czynienia z dwiema matematycznie ważnymi cechami pola wektorowego: strumieniem i cyrkulacją. Dobrze byłoby zrozumieć, czym są te pojęcia matematyczne i jakie jest ich praktyczne znaczenie.

Na drugą część pytania łatwo jest odpowiedzieć od razu, ponieważ koncepcje przepływu i krążenia leżą u podstaw Równania Maxwella, na którym faktycznie opiera się cała współczesna elektrodynamika.

Na przykład prawo indukcji elektromagnetycznej można sformułować w następujący sposób: krążenie pola elektrycznego E wzdłuż zamkniętej pętli C jest równe szybkości zmiany strumienia pola magnetycznego B przez powierzchnię S ograniczoną tym pętla B.

Poniżej opiszemy całkiem prosto, używając klarownych, płynnych przykładów, w jaki sposób charakterystyki pola są określane matematycznie, z których te charakterystyki są brane i uzyskiwane.

Strumień pola wektorowego

Na początek narysujmy pewną zamkniętą powierzchnię o zupełnie dowolnym kształcie wokół badanego obszaru. Po zobrazowaniu tej powierzchni zadajemy sobie pytanie, czy obiekt badań, który nazywamy polem, przepływa przez tę zamkniętą powierzchnię. Aby zrozumieć, o co w tym wszystkim chodzi, rozważmy prosty płynny przykład.

Powiedzmy, że badamy pole prędkości pewnego płynu. Dla takiego przykładu sensowne jest pytanie: czy więcej płynu przepływa przez tę powierzchnię w jednostce czasu, niż wpływa do objętości ograniczonej tą powierzchnią? Innymi słowy, czy natężenie odpływu zawsze jest kierowane głównie od wewnątrz na zewnątrz?

Wyrażeniem „wektorowy strumień pola” (a dla naszego przykładu wyrażenie „strumień prędkości płynu” będzie dokładniejsze) zgodzimy się nazwać całkowitą ilość wyimaginowanego płynu, który przepływa przez powierzchnię rozważanej objętości ograniczonej zadaną a powierzchnia zamknięta (dla natężenia przepływu płynu, ile płynu wynika z objętości w jednostce czasu).

W rezultacie strumień przez element powierzchniowy będzie równy iloczynowi powierzchni elementu powierzchniowego przez prostopadłą składową prędkości. Wtedy całkowity (całkowity) strumień na całej powierzchni będzie równy iloczynowi średniej składowej normalnej prędkości, którą będziemy liczyć od środka na zewnątrz, przez całkowite pole powierzchni.

Wróćmy teraz do pola elektrycznego. Pole elektryczne oczywiście nie może być uważane za prędkość przepływu jakiejś cieczy, ale mamy prawo wprowadzić matematyczne pojęcie przepływu, podobne do tego, co opisaliśmy powyżej jako prędkość przepływu cieczy.

Tylko w przypadku pola elektrycznego jego strumień można wyznaczyć na podstawie średniej składowej normalnej natężenia pola elektrycznego E. Ponadto strumień pola elektrycznego można wyznaczyć niekoniecznie przez powierzchnię zamkniętą, ale przez dowolną powierzchnię ograniczoną o niezerowym obszarze S .

Cyrkulacja pola wektorowego

Wszyscy dobrze wiedzą, że dla większej przejrzystości pola można przedstawić w postaci tak zwanych linii sił, w których w każdym punkcie kierunek stycznej pokrywa się z kierunkiem natężenia pola.

Wróćmy do analogii płynu i wyobraźmy sobie pole prędkości płynu.Zadajmy sobie pytanie: czy płyn krąży? To znaczy, czy porusza się głównie w kierunku jakiejś wyimaginowanej zamkniętej pętli?

Dla większej jasności wyobraź sobie, że ciecz w dużym pojemniku jakoś się porusza (ryc. A) i nagle zamroziliśmy prawie całą jej objętość, ale udało nam się pozostawić niezamrożoną objętość w postaci jednorodnie zamkniętej rurki, w której nie ma tarcie cieczy o ścianki (rys. b).

Na zewnątrz tej rurki ciecz zamieniła się w lód i dlatego nie może się już poruszać, ale wewnątrz rurki ciecz może kontynuować swój ruch, pod warunkiem, że przeważa pęd, który napędza ją na przykład w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (ryc. °C). Wtedy iloczyn prędkości płynu w rurze i długości rury będzie nazywany cyrkulacją prędkości płynu.

Podobnie możemy zdefiniować cyrkulację dla pola wektorowego, chociaż ponownie nie można powiedzieć, że pole jest prędkością czegokolwiek, niemniej jednak możemy zdefiniować matematyczną charakterystykę „cyrkulacji” wzdłuż konturu.

Tak więc obieg pola wektorowego wzdłuż wyimaginowanej zamkniętej pętli można zdefiniować jako iloczyn średniej składowej stycznej wektora w kierunku przejścia pętli — przez długość pętli.