Graficzne przedstawienie wartości sinusoidalnych
W dowolnym obwodzie liniowym, niezależnie od rodzaju elementów wchodzących w skład obwodu, napięcie harmoniczne powoduje prąd harmoniczny i odwrotnie prąd harmoniczny generuje na zaciskach tych elementów napięcia również o postaci harmonicznej. Należy zauważyć, że zakłada się, że indukcyjność cewek i pojemność kondensatorów są liniowe.
W bardziej ogólnym przypadku możemy powiedzieć, że w obwodach liniowych z wpływami harmonicznymi wszystkie reakcje również mają postać harmoniczną. Dlatego w każdym obwodzie liniowym wszystkie chwilowe napięcia i prądy mają tę samą postać harmoniczną. Jeśli obwód zawiera co najmniej kilka elementów, to jest wiele krzywych sinusoidalnych, te wykresy czasowe nakładają się, bardzo trudno je odczytać, a badanie staje się wyjątkowo niewygodne.
Z tych powodów badania procesów zachodzących w obwodach pod wpływem harmonicznych nie są przeprowadzane na krzywych sinusoidalnych, a za pomocą wektorów, których długości są przyjmowane proporcjonalnie do maksymalnych wartości krzywych, oraz kątów, pod którymi wektory są umieszczone, są równe kątom między początkiem dwóch krzywych lub początkiem krzywej i początkiem.W ten sposób zamiast zajmujących dużo miejsca wykresów czasowych ich obrazy są wyświetlane w postaci wektorów, czyli linii prostych ze strzałkami na końcach, przy czym strzałki dla wektorów napięć są zacienione, a dla wektorów prądów pozostają niezacienione.
Nazywa się zbiór wektorów napięć i prądów w obwodzie schemat wektorowy… Zasada liczenia kątów na diagramach wektorowych jest następująca: jeśli konieczne jest pokazanie wektora opóźnionego o pewien kąt w stosunku do pozycji początkowej, należy obrócić wektor o ten kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wektor obrócony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara oznacza przesunięcie o określony kąt.
Na przykład na schemacie z ryc. 1 pokazuje trzy wykresy czasowe o tych samych amplitudach, ale różnych fazach początkowych... Dlatego długości wektorów odpowiadających tym harmonicznym muszą być takie same, a kąty muszą być różne. Narysujmy wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych, za początek weźmy oś poziomą o wartościach dodatnich, w tym przypadku wektor pierwszego naprężenia powinien pokrywać się z dodatnią częścią osi poziomej, wektor drugiego naprężenia należy obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt ψ2 , a trzeci wektor napięcia musi być przeciwny do ruchu wskazówek zegara. strzałki pod kątem (ryc. 1).
Długości wektorów zależą od wybranej skali, czasami są rysowane z dowolną długością zgodnie z proporcjami. Ponieważ wartości maksymalne i skuteczne wszystkich wielkości harmonicznych zawsze różnią się o tę samą liczbę razy (w √2 = 1,41), wówczas wartości maksymalne i skuteczne można wykreślić na wykresach wektorowych.
Wykres czasowy przedstawia wartość funkcji harmonicznej w dowolnym momencie zgodnie z równaniem ti = Um sin ωt. Wykres wektorowy może również pokazywać wartości w dowolnym momencie. W tym celu należy przedstawić wektor obracający się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω i wykonać rzut tego wektora na oś pionową. Otrzymane długości rzutów będą zgodne z prawem ti = Um sinωt, a zatem reprezentują wartości chwilowe w tej samej skali.Kierunek obrotu wektora w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jest uważany za dodatni, a zgodnie z ruchem wskazówek zegara za ujemny.
Figa. 1
Figa. 2
Figa. 3
Rozważ przykład określania chwilowych wartości napięcia za pomocą diagramu wektorowego. Po prawej stronie ryc. 2 przedstawia wykres czasowy, a po lewej wykres wektorowy. Niech początkowy kąt fazowy będzie równy zeru. W tym przypadku w chwili t = 0 chwilowa wartość napięcia wynosi zero, a wektor odpowiadający temu wykresowi czasowemu pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi odciętych, rzutem tego wektora na oś pionową w tym momencie jest również zerem, t .is długość projekcji odpowiada chwilowej wartości fali sinusoidalnej.
Po czasie t = T / 8 kąt fazowy staje się równy 45 °, a wartość chwilowa Um sin ωt = Um sin 45 ° = = 0,707 Um. Ale wektor promienia w tym czasie również obróci się pod kątem 45 °, a rzut tego wektora również wyniesie 0,707 Um. Po t = T / 4 chwilowa wartość krzywej osiągnie U, ale wektor promienia również zostanie obrócony o 90 °. Rzut na oś pionową w tym punkcie będzie równy samemu wektorowi, którego długość jest proporcjonalna do wartości maksymalnej.Podobnie w każdej chwili możesz określić aktualne wartości.
Tak więc wszystkie operacje, które w taki czy inny sposób muszą być wykonywane na krzywych sinusoidalnych, sprowadzają się do operacji wykonywanych nie na samych sinusoidach, ale na ich obrazach, to znaczy na odpowiadających im wektorach. Na przykład istnieje obwód na ryc. 3, a, w którym konieczne jest wyznaczenie zastępczej krzywej chwilowych wartości napięcia. Aby graficznie zbudować krzywą uogólnioną, należy wykonać bardzo uciążliwą operację graficznego dodania dwóch krzywych wypełnionych punktami (ryc. 3, b). Aby analitycznie dodać dwie sinusoidy, konieczne jest znalezienie maksymalnej wartości równoważnej sinusoidy:
i początkowa faza
(W tym przykładzie otrzymujemy Um eq równe 22,36 i ψek = 33°.) Oba wzory są nieporęczne, wyjątkowo niewygodne w obliczeniach, dlatego w praktyce są rzadko stosowane.
Zastąpmy teraz sinusoidy czasowe ich obrazami, czyli wektorami. Wybierzmy skalę i odłóżmy na bok wektor Um1, który jest opóźniony o 30 w stosunku do początku układu współrzędnych, oraz wektor Um2, który ma długość 2 razy większą niż wektor Um1, przesuwając początek układu współrzędnych o 60° (ryc. 3, c) . Rysunek po takim zastąpieniu jest znacznie uproszczony, ale wszystkie wzory obliczeniowe pozostają takie same, ponieważ obraz wektorowy wielkości sinusoidalnych nie zmienia istoty rzeczy: uproszczony jest tylko rysunek, ale nie zawarte w nim relacje matematyczne (w przeciwnym razie zastąpienie diagramów czasowych wektorami byłoby po prostu nielegalne).
Zatem zastąpienie wielkości harmonicznych ich reprezentacjami wektorowymi nadal nie ułatwia techniki obliczeniowej, jeśli te obliczenia mają być wykonywane zgodnie z prawami trójkątów ukośnych. Aby radykalnie uprościć technologię obliczania wielkości wektorowych, zastosowano symboliczną metodę obliczeń.