Symboliczna metoda obliczania obwodów prądu przemiennego

Symboliczna metoda operacji na wielkościach wektorowych opiera się na bardzo prostej idei: każdy wektor rozkłada się na dwie składowe: jedną poziomą, przechodzącą wzdłuż odciętej, i drugą, pionową, przechodzącą wzdłuż rzędnej. W tym przypadku wszystkie składowe poziome biegną po linii prostej i można je dodać za pomocą prostego dodawania algebraicznego, a składowe pionowe są dodawane w ten sam sposób.

Takie podejście generalnie skutkuje powstaniem dwóch składowych wypadkowych, poziomej i pionowej, które zawsze sąsiadują ze sobą pod tym samym kątem 90°.

Te komponenty mogą być użyte do znalezienia wyniku, czyli do dodania geometrycznego. Składowe prostokątne reprezentują nogi trójkąta prostokątnego, a ich suma geometryczna reprezentuje przeciwprostokątną.

Można też powiedzieć, że suma geometryczna jest liczbowo równa przekątnej równoległoboku zbudowanego zarówno na składowych, jak i na jego bokach... Jeżeli składową poziomą oznaczymy przez AG, a pionową przez AB, to suma geometryczna ( 1)

Znalezienie sumy geometrycznej trójkątów prostokątnych jest znacznie łatwiejsze niż trójkątów ukośnych. Łatwo to zauważyć (2)

staje się (1), jeśli kąt między elementami wynosi 90 °. Ponieważ cos 90 = 0, ostatni wyraz w wyrażeniu pierwiastkowym (2) znika, w wyniku czego wyrażenie to jest znacznie uproszczone. Należy pamiętać, że przed słowem „suma” należy dodać jedno z trzech słów: „arytmetyczny”, „algebraiczny”, „geometryczny”.

Figa. 1.

Słowo „kwota” bez określenia, która prowadzi do niepewności, aw niektórych przypadkach do poważnych błędów.

Przypomnijmy, że wynikowy wektor jest równy sumie arytmetycznej wektorów w przypadku, gdy wszystkie wektory biegną wzdłuż linii prostej (lub równolegle do siebie) w tym samym kierunku. Ponadto wszystkie wektory mają znak plus (ryc. 1, a).

Jeśli wektory biegną wzdłuż linii prostej, ale są skierowane w przeciwnych kierunkach, to ich wynik jest równy algebraicznej sumie wektorów, w którym to przypadku niektóre wyrażenia mają znak plus, a inne znak minus.

Na przykład na schemacie z ryc. 1, b U6 = U4 — U5. Możemy również powiedzieć, że suma arytmetyczna jest używana w przypadkach, gdy kąt między wektorami wynosi zero, algebraiczna, gdy kąty wynoszą 0 i 180 °. We wszystkich innych przypadkach dodawanie odbywa się wektorowo, to znaczy określa się sumę geometryczną (ryc. 1, c).

Przykład... Wyznacz parametry zastępczej fali sinusoidalnej dla obwodu Rys. 2, ale symboliczne.

Odpowiedź. Narysujmy wektory Um1 Um2 i rozłóżmy je na składowe. Z rysunku widać, że każda składowa pozioma to wartość wektora pomnożona przez cosinus kąta fazowego, a pionowa to wartość wektora pomnożona przez sinus kąta fazowego. Następnie

Figa. 2.

Oczywiście suma składowych poziomych i pionowych jest równa sumom algebraicznym odpowiednich składowych. Następnie

Otrzymane komponenty pokazano na ryc. 2, b. W tym celu określ wartość Um, oblicz sumę geometryczną dwóch składowych:

Wyznacz równoważny kąt fazowy ψeq. Figa. 2, b widać, że stosunek składowej pionowej do poziomej jest tangensem równoważnego kąta fazowego.

Gdzie

Otrzymana w ten sposób sinusoida ma amplitudę 22,4 V, fazę początkową 33,5° z tym samym okresem co składowe. Należy zauważyć, że można dodawać tylko fale sinusoidalne o tej samej częstotliwości, ponieważ przy dodawaniu krzywych sinusoidalnych o różnych częstotliwościach wynikowa krzywa przestaje być sinusoidą i wszystkie koncepcje odnoszące się tylko do sygnałów harmonicznych stają się w tym przypadku nieważne.

Prześledźmy jeszcze raz cały łańcuch przekształceń, jakie należy wykonać przy matematycznym opisie przebiegów harmonicznych przy wykonywaniu różnych obliczeń.

Najpierw funkcje czasowe zastępowane są obrazami wektorowymi, następnie każdy wektor jest rozkładany na dwie wzajemnie prostopadłe składowe, następnie oddzielnie obliczane są składowe pozioma i pionowa, a na końcu wyznaczane są wartości wynikowego wektora i jego fazy początkowej.

Ta metoda obliczeń eliminuje konieczność graficznego dodawania (aw niektórych przypadkach wykonywania bardziej skomplikowanych operacji, na przykład mnożenia, dzielenia, wyciągania pierwiastków itp.) Krzywych sinusoidalnych i uciekania się do obliczeń za pomocą wzorów ukośnych trójkątów.

Jednak osobne obliczanie składowych poziomych i pionowych operacji jest dość kłopotliwe.W takich obliczeniach bardzo wygodnie jest mieć taki aparat matematyczny, za pomocą którego można obliczyć oba składniki jednocześnie.

Już pod koniec ubiegłego stulecia opracowano metodę pozwalającą na jednoczesne obliczanie liczb wykreślonych na wzajemnie prostopadłych osiach. Liczby na osi poziomej nazwano liczbami rzeczywistymi, a liczby na osi pionowej nazwano urojonymi. Przy obliczaniu tych liczb do liczb rzeczywistych dodaje się współczynnik ± 1, a do liczb urojonych ± j (czytaj „xi”). Nazywa się liczby składające się z części rzeczywistej i urojonej złożony, a sposób obliczeń wykonywanych przy ich pomocy jest symboliczny.

Wyjaśnijmy termin „symboliczny”. Funkcje do obliczenia (w tym przypadku harmoniczne) są oryginałami, a wyrażenia, które zastępują oryginały, to obrazy lub symbole.

Podczas korzystania z metody symbolicznej wszystkie obliczenia są wykonywane nie na samych oryginałach, ale na ich symbolach (obrazach), które w naszym przypadku reprezentują odpowiednie liczby zespolone, ponieważ znacznie łatwiej jest wykonywać operacje na obrazach niż na samych oryginałach.

Po zakończeniu wszystkich operacji na obrazie oryginał odpowiadający obrazowi wynikowemu jest zapisywany na obrazie wynikowym. Większość obliczeń w obwodach elektrycznych wykonuje się metodą symboliczną.